Пояснительная записка

(Обработка сигнала с датчика вихревого расходомера)

1.     Введение. 3

2.     Проведение исследований и постановка задачи. 4

3.     Анализ и обработка сигналов. 6

3.1.      Усреднение спектров. 9

3.2.      Фильтрация гармоник. 14

3.2.1.       Линия тренда. 14

3.2.2.       Выбор диапазона окрестности линии тренда. 16

3.2.3.       Выбор гармоник в окрестности максимума. 19

3.3.      Вычисление базовой частоты.. 20

3.3.1.       Средневзвешенное суммирование. 20

3.3.2.       Обработка сигнала при нулевой частоте. 21

4.     Обработка результатов. 22

4.1.      Обработка результатов для размера выборок 2048. 22

4.2.      Обработка результатов для размера выборок 1024. 24

5.     Заключение. 26

1.   Введение.

Принцип работы вихревых расходомеров основан на свойствах среды (жидкость, пар), отекающей препятствие (тело обтекания) [1]. Вязкость среды приводит к образованию вихрей в первоначально потенциальном  потоке. Скорость потока на поверхности тела в силу прилипания жидкости равна нулю. Вдали от поверхности она принимает значение, близкое к скорости набегающего потока. Это изменение скорости происходит в пограничном слое, в котором действие вязких напряжений сравнимо со значением эффекта, вызываемого инерцией. Толщина пограничного слоя зависит от числа Рейнольдса и длины слоя :

(1)                 ,

где  – число Рейнольдса.

Существование пограничного слоя приводит к заметным изменениям течения в момент после обтекания тела.

При течении, происходящем вне пограничного слоя, на первой половине пути обтекания вдоль тела среда движется ускоренно, и давление по мере приближения к середине пути понижается. На второй половине пути, наоборот, происходит замедление движения, и давления по мере приближения к концу пути повышается. Таким образом, для частиц среды, находящихся вне пограничного слоя, происходит сначала преобразование энергии давления в кинетическую энергию, потом обратное преобразование в энергию давления.

Внутри пограничного слоя давление аналогичное, но на частицы среды действуют значительные силы трения, приводящие к потере кинетической энергии. На второй половине пути оставшейся энергии уже недостаточно, чтобы преодолеть повышения давления. В результате частицы среды останавливаются, а затем под воздействием распределения давления внешнего течения начинают двигаться в обратном направлении. Точка такой смены направления течения называется точкой отрыва пограничного слоя. Постепенно образуется нарастающий вихрь, который в конце концов отрывается от тела.

Так как среда обтекает тело с двух сторон, соответственно отрывы пограничного слоя и вихри образуются с обеих сторон. Развитие вихря с одной стороны препятствует его образованию с другой, и происходят поочерёдные нарастания вихрей и их отрывы то с одной, то с другой стороны.

Отрывающиеся вихри образуют за за телом обтекания двойную цепочку вихрей, постепенно рассеивающихся. Эта двойная цепочка вихрей носит название дорожки Кармана.

На практике вихревые дорожки Кармана могут иметь вид, приведенный на рисунке 1.

Рисунок 1. Вихревая дорожка Кармана, возникающая за плохо обтекаемым цилиндром.

Частота вихреобразования  определяется по формуле:

(2)             ,

где  – безразмерный критерий, называемый числом Струахаля,

        – скорость потока,

        – характерный размер тела.

Для шара и цилиндра под подразумеваются их диаметры, для пластинки, имеющей ширину  и толщину , стоящей под углом атаки α к потоку:

(3)            =  *sin α + *cos α 

Зависимость между объемным расходом  и частототй  определяется по формуле:

(4)          ,

где  - площадь наименьшего поперечного сечения потока вокруг обтекаемого тела.

Чтобы обеспечить пропорциональность между  и , число Струхаля  должно оставаться неизменным в возможно большей области значений числа .

Процесс срыва вихрей с тела обтекания носит периодический характер, создавая пульсации давления. Это позволяет измерять частоту с помощью чувствительного элемента, расположенного позади тела обтекания относительно движения потока.

Из формулы (2) следует, что скорость потокапропорциональна частоте срыва вихрей . На этом основан принцип измерения скорости (расхода) среды вихревыми расходомерами и сводится к определению частоты периодического сигнала с чувствительного элемента.

2.             Проведение исследований и постановка задачи

С помощью установки, схема которой приведёна на рисунке 2, были получены замеры сигналов с чувствительного элемента вихревого преобразователя при различных скоростях движения жидкости.

Рисунок 2. Схема  установки для снятия сигнала с вихревого первичного преобразователя.

Эталонный расходомер выполняет функцию измерителя эталонного расхода в кольцевом трубопроводе, необходимого при анализе свойства электрического сигнала с вихревого преобразователя. С помощью устройства управления по команде компьютера можно задавать различные скорости движения жидкости (расходы).  Электрический сигнал с чувствительного элемента, расположенного в вихревом преобразователе, поступает электронный блок (Рисунок 2, поз.1), где преобразуется в цифровой вид с заданной дискретностью и передается на компьютер по запросу сервисной программы. В результате формируются файлы со считанными цифровыми данными снимаемого сигнала.

На рисунках 3.1, 3.2 приведены временные диаграммы, построенные на основе цифровых данных сигналов, считанных при различных заданных скоростях (расходах). Частота дискретизации 200 Гц. На рисунках 4.1, 4.2 приведены амплитудные спектры этих сигналов, пересчитанные на основе дискретного преобразования Фурье.

Рисунок 3.1.Временная диаграмма сигнала при заданном расходе 0,9м³/ч.

Рисунок 3.2. Временная диаграмма сигнала при заданном расходе 8,5193м³/ч.

Рисунок 4.1.Амплитудный спектр сигнала при заданном расходе 0,9м³/ч.

Рисунок 4.2.Амплитудный спектр сигнала при заданном расходе 8,5193м³/ч.

В идеале данный сигнал должен быть периодическим, и в спектре должна выделяться основная гармоника с частотой равной , где – период срыва вихрей.

Однако на практике сигнал сильно зашумлён, и основная гармоника может быть  “спрятана” за шумовыми помехами, что особенно заметно на малых скоростях (рис.4.1). Требуется предварительная обработка сигнала.

В данной статье рассматриваются возможные варианты обработки.

3.               Анализ и обработка сигналов

Для анализа на установке (Рисунок 2) получены замеры сигналов с частотой дискретизации 200Гц при значениях расходов, приведённых в таблице 1.

                                                        Таблица 1.

Сигналы должны быть периодическими с частотой срыва вихрей, равной . Если построить амплитудные спектры сигналов, основная гармоника на частоте  должна иметь максимальное значение амплитуды. Таким образом, определение частоты срыва вихрей (далее по тексту базовая частота) можно было бы свести к определению частоты гармоники с максимальной амплитудой в спектре (далее по тексту базовая гармоника).

Однако на полезный сигнал с базовой гармоникой накладываются помехи стационарного шума и внешних воздействий. Поэтому максимум в спектре может оказаться случайным выбросом, что создаёт неопределённость и не позволяет определить требуемую частоту и расход.

На рисунках 5.1, 5.2 приведены графики зависимостей номеров и амплитуд максимальных гармоник в спектрах сигналов от расходов. Спектры рассчитаны с помощью дискретного преобразования Фурье с размером выборки, равным 1024.

Рисунок 5.1. График зависимости номеров максимальных гармоник в спектрах сигналов от расхода

Рисунок 5.2. График зависимости амплитуд максимальных гармоник в спектрах сигналов от расхода

При пересчёте номеров гармоник в частоты из графика на рисунке 5.1 можно получить подобный график зависимости частоты максимальной гармоники от расхода. Частота пересчитывается по формуле:

(5)    ,

                где – номер гармоники,

                       – частота дискретизации снимаемых сигналов (200),

                       – размер выборки (1024).

Из формулы 4 следует, что  частота вихреобразования  пропорционально зависит от значения объёмного расхода , и график должен быть близким к линейному. На графике (рисунок 5.1) зависимость получается “ломанной”. Это можно объяснить присутствием в сигналах помех.   

При анализе амплитудных спектров видно, что с увеличением расхода амплитуда основной гармоники также увеличивается, и амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) сигнала представляет собой растущую функцию.

На графике (рисунок 5.2) точки (позиции 1, 2) явно не вписываются в общую тенденцию увеличения амплитуды с увеличением скорости потока. При просмотре спектров сигналов в этих точках (рисунки 6.1, 6.2) видно, что максимумы этих спектров не соответствуют основным гармоникам, а являются случайными выбросами помех.

Рисунок 6.1.Спектр снимаемого сигнала при заданном расходе 6,6736 м³/ч.

Рисунок 6.2.Спектр снимаемого сигнала при заданном расходе 7,7881 м³/ч.

Для базовой частоты необходимо исключить или уменьшить влияние помех до приемлемого уровня. Далее рассматриваются методы решения данной задачи.

3.1.                    Усреднение спектров

Как отмечалось выше, на полезный сигнал накладываются помехи стационарного шума и внешних воздействий. Сигнал с чувствительного элемента вихревого преобразователя можно представить в виде аддитивной смеси сигнала, шума и внешних воздействий:

(6)        ,

где – полезный сигнал без подмешивания  стационарного шума и внешних воздействий,

      – стационарный шум, близкий по свойствам к белому шуму,

      – случайные временные сигналы от внешних воздействий,  длящийся короткие промежутки времени.

Доказано, что преобразование Фурье суммы сигналов равно сумме преобразований Фурье каждого из этих сигналов [2]. Другими словами, Спектр суммы сигналов равен сумме спектров данных сигналов и спектры замеренных сигналов можно рассматривать как сумму спектров полезного сигнала и помех.

При постоянной скорости потока жидкости в течение заданного периода времени базовая частота так же постоянна, и амплитудные спектры полезного сигнала в разные моменты времени заданного периода в идеале должны совпадать. По крайней мере, различия амплитуд базовых гармоник должны быть незначительными, в пределах допуска погрешностей.

Из этого следует, что если просуммировать n дискретных преобразований Фурье выборок, считанных в разные моменты времени при постоянной скорости потока жидкости, в суммарной функции  амплитуда гармоники базовой частоты должна увеличиться примерно в n раз. Базовая частота не всегда точно совпадает с частотами гармоник в спектре, а может оказаться где-то между ними. В этом случае в спектре будут ближайшие к базовой частоте гармоники. Их амплитуды  также должны увеличиться в n раз. Чем больше размер выборки, тем меньше вероятность попадания базовой частоты между гармониками спектра.  

Что касается стационарного шума, его спектральные составляющие равномерно распределяются по всему диапазону спектра частот, и присутствие/отсутствие гармоники заданной частоты в заданный момент времени носит случайный характер. Следовательно, появление гармоники шума с амплитудой, превышающей амплитуду основной гармоники, в момент времени t1 не означает её присутствие на данной частоте в момент времени t2. При суммировании спектров стационарного шума во времени их максимумы должны “сглаживаться” в суммарной функции.

Сигналы от внешних воздействий, как правило, также не постоянны во времени, соответственно при суммировании спектров их максимумы должны “сглаживаться”.

Усреднённый спектр получается делением суммарной функции на n. При постоянной скорости потока жидкости в усреднённом спектре максимумы от стационарного шума и внешних воздействий должны “нивелироваться” в отличие от максимума полезного сигнала, остающегося неизменным. Другими словами, усредняя спектр во времени можно уменьшить влияние помех при определении базовой частоты.

Далее рассматриваются влияния размеров выборок суммируемых спектров и количество суммирований на эффективность определения базовой частоты.

На рисунках 7.1, 7.2 приведены графики зависимостей амплитуд и частот максимальных гармоник в спектрах сигналов от расходов с вариантами размеров выборок для спектров: 512, 1024, 2048. На рисунке 7.3 приведены графики зависимостей амплитуд максимальных гармоник от их частот.

Рисунок 7.1. График зависимости частот максимальных гармоник в спектрах от расхода

Рисунок 7.2. График зависимости амплитуд максимальных гармоник в спектрах от расхода

Рисунок 7.3. График зависимости амплитуд максимальных гармоник от их частот

На рисунке 7.1 видно, что увеличение размера выборки практически не повлияло на спрямление графиков зависимости частот максимальных гармоник от расхода. Графики остаются “ломанными” и даже в случае размера выборки, равного 2048, наблюдается скачок вниз в области малых расходов.

На рисунке 7.2 напротив заметно влияние увеличения размера выборки. График при  размере выборки 2048 более ровный, и отсутствуют скачки вниз, как это наблюдалось на рисунке 5.1.

Также видно, что график при размере выборки 2048 проходит  ниже остальных. Это можно объяснить тем, что с увеличением размера выборки увеличивается разрешение по оси частот спектра и уменьшается количество “неучтённых” спектральных составляющих помех, не совпадающих с частотами гармоник. Соответственно уменьшается вероятность наложений их на ближайшие по частоте гармоники.

На рисунке 7.3 также видно, что наиболее плавная зависимость амплитуд максимальных гармоник от их частот получается при размере выборки 2048.

На рисунках 8.1, 8.2 приведены графики зависимостей амплитуд и частот максимальных гармоник в усреднённых спектрах от расходов с вариантами размеров выборок для спектров: 512, 1024, 2048. На рисунке 8.3 приведены графики зависимостей амплитуд максимальных гармоник от их частот. Усреднение выполнено по 64 спектрам во временной области.

Рисунок 8.1. График зависимости частот максимальных гармоник в функциях усреднения от расхода в усреднённых спектрах

Рисунок 8.2. График зависимости амплитуд максимальных гармоник в функциях усреднения от расхода в усреднённых спектрах

Рисунок 8.3. График зависимости амплитуд максимальных гармоник от их частот в усреднённых спектрах

При сравнении графиков на рисунках 7.1 и 8.1 видно некоторое выравнивание графиков после усреднения. Однако кривизна остаётся, и в области малых расходов просматриваются значительные занижения частот.

На рисунке 9 приведены усреднённые спектры сигналов при малых расходах. Максимальные гармоники находятся левее предполагаемой базовой частоты, что является причиной занижения частот в левой части графика на рисунке 8.1.

Рисунок 9. Усреднённые спектры по 64 выборкам размером 2048 при заданных расходах 0,9092 м³/ч, 2,0288 м³/ч.

На графиках (рис. 8.2, 8.3) заметно уменьшение разброса. Также уменьшились значения максимальных амплитуд, что является результатом сглаживания случайных выбросов. Наилучшие результаты получаются при максимальном из приведённых размеров выборок, равном 2048.

Вывод:

Увеличение размера выборок и усреднение спектров во временной области уменьшают влияние помех на графики зависимостей базовой частоты от расхода. Однако, применение данного подхода не решает в полной мере задачу определения базовой частоты. После усреднения остаются отклонения от линейной зависимости.

Тем не менее, результаты усреднения будут полезны при дальнейшем решении.

3.2.   Фильтрация гармоник

Если провести огибающие линии на спектрах, приведённых на рисунках 6.1, 6.2, то можно заметить, что область максимальных значений или пика огибающих, где предположительно должна располагаться базовая гармоника, не всегда совпадает абсолютным максимумом. Последний может быть случайным выбросом помех. Наиболее близкими к базовой частоте могут быть один или более локальных максимумов в области максимальных значений огибающей. Более одного локального максимума появляется в случае, если базовая частота попадает в между гармониками.

Таким образом, для определения базовой частоты необходимо определить критерий отбора или фильтрации, по которому из множества локальных максимумов в спектре выбираются нужные для дальнейшей обработки и исключаются остальные.

3.2.1. Линия тренда

На графиках (рис. 7.3, 8.3), можно заметить, что зависимости амплитуд от частот максимальных гармоник представляют собой растущие функции. Несмотря на то, что базовые частоты не всегда совпадают с максимальными гармониками, наблюдается устойчивый рост частоты и амплитуды при увеличении расхода. Между амплитудой и частотой базовой гармоники просматривается определённая зависимость, которую можно выразить некоторой функцией.

В качестве критерия выбора локальных максимумов можно принять нахождение значений их амплитуд в окрестности этой функции, зависящей от частоты.

Если значения амплитуд локальных максимумов выходят за пределы окрестности, последние исключаются из дальнейшего анализа.

Функция зависимости амплитуды от частоты должна представлять линию тренда, проходящую где-то посредине между вершинами ломаных графиков (рис. 8.3), сглаживая случайные выбросы максимумов.

Линию тренда можно было бы получить аппроксимацией методом наименьших квадратов данных массивов , . Учитывая, что при нулевом расходе должна быть нулевая частота и нулевая амплитуда, функция должна гарантировано проходить через начало координат. Соответственно элементы массивов , целесообразно дополнить  их зеркальными отображениями в отрицательной области.

 Другими словами, в качестве исходных данных для аппроксимации должны использоваться элементы массивов ,, определяемые  по формулам:

(7)     , при < 13

             , при  >= 13, где = [1…24]

(8)     , при < 13

             , при >= 13, где = [1…24]

Для получения линии тренда используется аппроксимация методом наименьших квадратов полиномом 3-й степени. Полином более высокой степени приведёт к изгибам линии и соответственно к отклонению от тренда. Интерес представляет аппроксимация в области положительных амплитуд и частот.

На рисунке 10 приведены линии тренда, полученные на основе аппроксимации данных зависимостей на рисунке 8.3.

Рисунок 10. Аппроксимации зависимостей амплитуд максимальных гармоник от их частот

Несмотря на некоторый разброс, графики располагаются достаточно близко в области построения. При размерах выборок 1024, 2048 линии аппроксимации практически совпадают и проходят ниже линии при размере выборки 512. Это означает, что при размере выборки от 1024 и выше достигнут устойчивый результат аппроксимации зависимости. Небольшое завышение амплитуд при размере выборки 512 можно объяснить “неучтёнными” спектральными составляющими помех, которые накладываются  на гармоники в спектре, о чём упоминалось в разделе “Усреднение спектров”.

Далее рассматривается линия тренда, полученная аппроксимацией при размере выборки 2048, рассчитываемая по формуле:

(9) , где

                                                                         - частота,

3.2.2.           Выбор диапазона окрестности линии тренда

Наличие погрешности при построении аппроксимации, наложение помех, а также не 100%-е совпадение базовой частоты с частотами гармоник в спектре означает, что выбор  локальных максимумов, должен выполняться в границах диапазона, охватывающую окрестность заданного размера.

При выборе размера границ следует учитывать, что при сужении  диапазона увеличивается вероятность исключения полезных гармоник, для дальнейшей обработки. При расширении диапазона увеличивается количество случайных гармоник. Для получения приемлемого результата необходимо выбрать оптимальный диапазон.

   На рисунках 11.1, 11.2 приведены спектры сигналов при заданных расходах 10,7867 м³/ч, 2,0288 м³/ч с наложенными на них линиями тренда (поз.1).

Рисунок 11.1. Спектр сигнала при расходе 10,7867 м³/ч и линия тренда.

Рисунок 11.2. Спектр сигнала при расходе 2,0288 м³/ч и линия тренда.

Пунктирными линиями (поз.2) обозначены функции верхней и нижней границ диапазона окрестности , , рассчитываемые по формулам:

(10)      

(11)     , где – частота,

                                                                – функция линии тренда,

                                                           – допустимый диапазон окрестности

Проведена исследовательская работа по выбору оптимального значения   , обеспечивающего гарантированный выбор  полезных гармоник в окрестности тренда для спектров всех исследуемых сигналов.

При размере выборки 2048  значение    подобрано, равное 470 как минимально допустимое значение, при котором не происходит отсеивание полезных гармоник.

На рисунке 12.1, 12.2 приведёны графики зависимости частот с максимальной амплитудой из ряда оставшихся после фильтрации гармоник от расхода при значениях    равных 470 и 460 соответственно.

Рисунок 12.1. График зависимости частот максимальных гармоник после фильтрации в спектрах от расхода при   = 470

Рисунок 12.2. График зависимости частот максимальных гармоник после фильтрации в спектрах от расхода при   = 460

На графиках видно, что даже при незначительном уменьшении  появились искажения, связанные с отсеиванием полезных гармоник.

На рисунке 11.1 видно, что в окрестности линии тренда попадают гармоники из области пика огибающей спектра, а также гармоники из области более низких частот. На рисунке 11.2 больше неопределённости. В окрестность линии тренда попадает слишком много гармоник

В связи с этим необходима дальнейшая проработка методики определения базовой частоты на основе полученных результатов фильтрации.

3.2.3.           Выбор гармоник в окрестности максимума

В идеале базовая частота должна совпадать с максимальным ( пиковым) значением огибающей спектра. Однако простой выбор максимальной гармоники из окрестности линии тренда не даёт приемлемого результата, что видно на рисунке 12.1. Решение следует искать в частотной области нахождения максимальных гармоник. Другими словами, необходимо провести последующую фильтрацию (далее по тексту фильтрацию 2) с выбором гармоник в окрестности максимума с амплитудами, близкими к максимальной.  Далее можно рассчитывать базовую частоту, например, как среднее арифметическое от их частот.

На рисунке 11.1 видно, что крайняя правая гармоника из окрестности линии тренда в общем случае оказывается справа от базовой гармоники, представляя собой правый боковой лепесток спектра полезного сигнала. В окрестность линии тренда должна также гарантированно попасть гармоника, симметрично расположенная слева от базовой частоты и представляющая собой левый боковой лепесток спектра полезного сигнала. Частотную область между этими гармониками рассматривать как область максимальных гармоник.

Значения амплитуд гармоник слева и справа от базовой частоты, как правило, не превышают амплитуду базовой гармоники, поэтому область максимальных гармоник можно определить выбором гармоник с амплитудами, не меньшими крайней правой из окрестности линии тренда. Данный выбор назовём

В частности крайняя правая гармоника из окрестности линии тренда может оказаться самой максимальной и соответственно единственной из области максимальных  гармоник. Это может означать, что либо полезный сигнал достаточно чётко обозначен в спектре, что является идеальным случаем, либо крайней правой гармоникой является помеха. В последнем случае результат определения базовой частоты окажется завышенным.

Вероятность появления помехи в окрестности линии тренда справа от базовой частоты с превышающей амплитудой достаточно мала и носит случайный и временный характер. Поэтому влияние на результат будет незначительным.

3.3.              Вычисление базовой частоты

3.3.1.  Средневзвешенное суммирование

Вычисление базовой частоты как среднее арифметическое от частот этих гармоник из области максимальных подходит для сигналов при больших и средних расходах. На малых расходах в области линии тренда оказываются множество гармоник в диапазоне от нуля до правой границы окрестности линии тренда, и среднее арифметическое значение частоты окажется примерно посередине данного диапазона.

По рисунку видно, что область пикового значения спектра должна находиться явно не посередине. В данном случае базовую частоту целесообразно рассчитывать по формуле средневзвешенного, с учётом амплитудного веса слагаемых гармоник:

     (12) ,     где - частота гармоник после фильтрации 2,

                                                              - амплитуда гармоник после фильтрации 2

На рисунке 13 приведён график зависимости базовых частот, рассчитанной по формуле 12, от расхода.  Размер выборки 2048.

Рисунок 13. График зависимостей рассчитанных базовых частот от расхода.

3.3.2.           Обработка сигнала при нулевой частоте

Данный метод обработки сигналов не позволяет определить базовую частоту при нулевом расходе, т.к. после фильтраций остаётся множество гармоник помех в диапазоне от нуля до правой границы окрестности линии тренда. При расчете базовой частоты по формуле 13 результат окажется ненулевым, что заведомо неверно. Необходимо внести доработку в алгоритм обработки сигналов.

При отсутствии полезного сигнала гармоники помех в спектре равномерно распределяются по всему диапазону, и абсолютный максимум не должен сильно выделяться относительно локальных. Другими словами, разность между максимальной и минимальной амплитудами локальных максимумов в спектре не  должно превышать заданного значения.

Для выбора данного коэффициента в Matlab имитировался сигнал  шума без полезной составляющей, сопоставимых с помехами снимаемых сигналов по формуле:

(14)  , где- допустимый диапазон окрестности,

                                                                    - функция в Matlab, формирующая массив, элементами которого являются случайные величины, распределенные по нормальному закону с математическим ожиданием 0 и среднеквадратическим отклонением 1.

Для данного сигнала выполняется условие:

(15),

где  - локальный максимум с максимальной амплитудой в спектре,

           - локальный максимум с минимальной амплитудой в спектре,

           -             коэффициент, экспериментально подобран равным 10

Для всех ненулевых сигналов, снимаемых на установке (рис.2) условие 15 не выполняется, следовательно проверка по данному условию позволяет определять с определённым допуском нулевой расход. Данный метод требует дополнительной проработки, которая в рамках данной статьи не рассматривается.

4.                Обработка результатов

4.1.                    Обработка результатов для размера выборок 2048

В таблице 2 приведены результаты статистической обработки результатов расчета базовых частот при разных значениях расходов. Для расчёта рассматривались 17 спектров с выборок размером 2048, сдвинутых относительно друг друга во временной  области на 4 дискрета.

Среднее арифметическое значения базовой частоты для каждого из 12 расходов рассчитывается по формуле:

(16) , где - рассчитываемая базовая частота,

                                         - количество расчётов, в данном случае 17

Дисперсия рассчитывается по формуле:

(17) σ  =

Стандартное отклонение рассчитывается по формуле:

(18) , где - средне квадратичное отклонение, равное квадратному   корню от σ

Максимальное значение   равно 0,021455, что вполне приемлемо.

                                                                                                                                                                                  Таблица 2.

4.2.                    Обработка результатов для размера выборок 1024

Важными свойствами при реализации алгоритма обработки сигналов в цифровых устройствах являются объём обрабатываемых данных и объём вычислений для получения текущего результата. Их уменьшение позволяет упростить процесс реализации и повышает быстродействие при обработке сигналов.

В качестве пути уменьшения объёмов обрабатываемых данных и вычисление в рассматриваемом алгоритме можно рассмотреть уменьшение размера выборки до 1024. В таблице 3 приведены результаты статистической обработки для выборок размером 1024. Для расчёта рассматривались 17 спектров с выборок размером 2048, сдвинутых относительно друг друга во временной  области на 64 дискрета. Допустимый диапазон окрестности  был подобран равным 700.

 По результатам обработки Максимальное значение   равно 0,222425,

Что хуже по сравнению с аналогичным при размере выборки 2048, но может быть применим при обработке сигналов.

                                                                                                                                                                                  Таблица 3.